Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi

Menjelaskan Syarat agar Suatu Fungsi Mempunyai Invers

Semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan tersebut dapat berupa fungsi atau bukan fungsi. Perhatikanlah gambar di bawah ini.

 

Dari gambar (i), himpunan A yang beranggotakan (a1, a2, a3, a4) diperakan oleh fungsi f ke himpunan B yang beranggotakan (b1, b2, b3) daerah hasil adalah: {(a1, b1), (a2, b2), (a3, b3), (a4, b4)}. Pada gambar (ii) himpunan B dipetakan oleh fungsi g ke himpunan A daerah hasil adalah: {(b1, a1), (b2, a2), (b2, a4), (b3, a3)}. Pemetaan g : B → A diperoleh dengan cara menukarkan atau membalik pasangan terurut f : A → B atau B merupakan balikan dari f dinotasikan g = f-1, sering disebut g merupakan invers dari f.

 

Menentukan Aturan Fungsi Invers dari Suatu Fungsi

Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f –1 jika dan hanya jika fungsi f bijektif atau dalam korespondensi satu-satu. Misalkan, f merupakan fungsi dari A ke B, maka f –1 merupakan fungsi invers f jika berlaku (f –1 c f)(x) = x dan (f c f –1)(x) = x.

Perhatikanlah gambar di bawah ini.

Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara berikut ini.

1. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.
2. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam 
y dan nyatakanlah x = f(y).
3. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f –1(x).

Untuk lebih memahami tentang fungsi invers, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soal

1. Jika diketahui f(x) =, x≠-2 tentukan inversnya.

Penyelesaian

Misal f(x) = y, maka soalnya menjadi:




2. Diketahui f : R → R dengan ketentuan f(x) = 3x + 8.

• Tentukan f–1(x).
• Tentukan (f–1 c f)(x).
• Tentukan (fcf–1)(x).
• Buktikan bahwa (f–1 c f)(x) = (f c f–1)(x).

Penyelesaian

 

 

Nilai Fungsi Komposisi dan Komponen Pembentuknya

Untuk menjelaskan nilai fungsi komposisi terhadap komponen pembentuknya, dapat dilakukan dengan dua cara berikut ini.

1. Dengan menentukan rumus komposisinya terlebih dahulu, kemudian disubstitusikan 
nilainya.
2. Dengan mensubstitusikan secara langsung nilai pada fungsi yang akan dicari.

Untuk lebih memahami, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Diketahui dua buah fungsi yang dinyatakan dengan rumus f(x) = 3x – 1 dan g(x) = x2 + 4. Tentukanlah nilai dari fungsi-fungsi komposisi berikut.


a. (gcf)(1)


b. (f c g)(–2)

c. (gcf)(–3)

Penyelesaian


Cara 1

a. (g._0.f)(x)     = g(f(x))


= g(3x – 1)


= (3x – 1)2 + 4


= 9x²–6x+1+4

= 9x² – 6x + 5

(g.0.f)(1)    = 9⋅12 –6⋅1+5

= 9–6+5=8

b. (f.0.g)(–2)   = f(g(x))


= f(x2+4)

= 3(x2+4)–1

= 3×2+12–1


= 3×2+11

(f.0.g)(–2)
   = 3(–2)2 + 11


= 3⋅4+11


= 12+11 = 23

c. (g.0.f)(x)       = 9×2–6x+5

(g.0.f)(–3)     = 9(–3)2 – 6 (–3) + 5

= 81+18+5

= 104

Cara 2

a.(g.0.f)(1)     = g(f(1))

= g(3⋅1–1)

= g(2)


= 22 + 4

= 8

 

b. (f.0.g) (–2) = f(g(–2))

=  f((–2)2 + 4)

=  f(8)

=  3⋅8–1 = 23

 

c. (g.0.f)(–3) =
 g(f(–3))

= g(3 (–3) – 1)

= g(–10)

= (–10)2 +4

= 104

 

 

 

Sumber:

http://edukasigratis.blogspot.com/

Read Full Post »

Pernyataan dan Bukan Pernyataan, Negasi, Implikasi, Tautologi dan Kontradiksi

Kalimat pernyataan atau bukan pernyataan

Dalam matematika dikenal dua jenis kalimat yaitu kalimat tertutup (bukan pernyataan) atau kalimat terbuka (pernyataan)

1. kalimat terbuka / bukan pernyataan

kalimat terbuka ialah suatu kalimat yang memuat variable, nilai kebenarannya belum dapat ditentukan, apabila bernilai salah atau benar.

Contah:

X adalah factor dari 15

P adalah bilangan rasional

Buktikan bahwa sin²x + cos²x = 1

2.kalimat tertutup/ bukan pernyataan

pernyataan adalah suatu kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau salah, tetapi tidak dapat terjadi benar atau salah bersamaan.

Untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan ada dua dasar, yaitu:

A. Dasar empiris

kebenaran suatu pernyataanditentukan pada saat itu. Beasanya diadakan pengamataan lebih dahulu. Jadi, nilai kebenarannya bersifat relative

contoh:

• budi sakit perut
• bapak kepala sekolah berambut putih
• kota Jakarta terkena bencana banjir

B. Dasar tak empiris

kebenaran suau pernyataan bersifat mutlak, tidak tergantung pada waktu dan tempat.

Contoh:

• 4 adalah bilangan genap
• setahun ada 12 bulan
• 3² = 9

Negasi

Dalam logika matematika , negasi atau ingkaran adalah operasi matematika terhadap suatu pernyataan baik tunggal maupun majemuk. Operasi negasi membalikkan nilai kebenaran suatu pernyataan. Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya p salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya p benar

Contoh-

   P  : Hasil ulangan ilmu hitung keuangan budi adalah 9

~ p : Hasil ulangan ilmu hitung keuangan budi adalah bukan 9

Secara umum bahwa negasi suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang bernilai salah, jika pernyataan awalnya bernilai benar dan akan bernilai benar jika awalanya bernilai salah.

 

Konjungsi

Konjungsi adalah cara menghubungkan dua pernyataan dengan menggunakan kata ‘atau’. Konjungsi bernilai salτah jika paling tidak ada salah satu pernyataan yang salah dan hanya bernilai benar jika semua pernyataan benar. Konjungsi dilambangkan dengan ∧

Contoh:

p: 1+1=2 (benar)

j: 4 adalah bilangan genap (Benar)

τ (p ∧ j) = Benar

p: 1+1=2 (Benar)

j: 5 adalah bilangan genap (Salah)

τ (p ∧ j) = Salah

Implikasi

Implikasi yang juga disebut pernyataan bersyarat/ kondisional adalah pernyataan yang disusun dari 2 pernyataan dengan bentuk jika … maka … . Implikasi dilambangkan dengan ⇒. Implikasi tidak berlaku sebaliknya (p⇒q tidak sama dengan q⇒p).

Pernyataan	p	q	p ⇒ q	q ⇒ p
	B	B	B	B
	B	S	S	B
	S	B	B	S
	S	S	B	B

Biimplikasi

Bimplikasi yang juga disebut pernyataan bersyarat/ kondisional adalah pernyataan yang disusun dari 2 pernyataan dengan bentuk … jika dan hanya jika … . Bimplikasi dilambangkan dengan ⇔. Tidak seperti implikasi, biimplikasi bersifat 2 arah/ bisa dibalik (p⇔q sama dengan q⇔p).

Pernyataan	p	q	p ⇔ q	q ⇔ p
	B	B	B	B
	B	S	S	S
	S	B	S	S
	S	S	B	B

Negasi, disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi juga dapat disatukan dalam suatu persoalan.

Contoh soal: Cari τ[~(p ∨ ~q)]

Pernyataan	p	q	p ⇒ q	(p ⇒ q) ^ p	{(p ⇒ q) ^ p}⇒ q
	B	B	B	B	B
	B	S	S	S	B
	S	B	B	S	B
	S	S	B	S	B

Maka τ[{(p ⇒ q) ^ p}⇒q] = B B B B

 

TAUTOLOGI

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:

1.      (p ʌ~q) p

Pembahasan:

p	q	~q	(p ʌ~q)	(p ʌ ~q) p
B B S S	B S B S	S B S B	S B S S	B B B B

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q) p selalu benar.

KONTRADIKSI

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1][4][4]

Contoh dari Kontradiksi:

1.      (A ʌ~A)

Pembahasan:

A	~A	(A ʌ~A)
B S	S B	S S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ~A) selalu salah.

2.      P ʌ (~p ʌ q)

Pembahasan:

p	q	~p	(~p ʌ q)	P ʌ (~p ʌ q)
B B S S	B S B S	S S B B	S S B S	S S S S

 

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).

Sumber:

sunardi, dkk, (2008), Matematika 1 SMA/MA, Jakarta: Bumi Aksara

http://geuliskaramadhan.blogspot.com/2013/07/tugas-13-matematika-iad-tautologi-dan_2.html

http://trololderp.blogspot.com/2012/12/konjungsi-implikasi-biimplikasi.html

Read Full Post »

DEFINISI FUNGSI (DOMAIN , KODOMAIN , RANGE)

(1). Definisi Relasi

Relasi dari dua himpunan A dan B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota B.

Contoh 1

Jika himpunan A = {Bandung, Surabaya, Medan}

B = {Jabar, Jatim, Sumut}.

Bandung adalah Ibukota provinsi Jabar, Surabaya Ibukota provinsi Jatim dan Medan Ibukota provinsi Sumut. Jadi relasi antara himpunan A ke himpunan B adalah “Ibukota Provinsi”.

Relasi antara dua himpunan A dan B dapat dinyat akan dengan :

a. Diagram Panah

b. Diagram Cartesius

c. Pasangan Berurutan.

Contoh 2

Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “ Faktor dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan :

a. Diagram Panah

b. Diagram Cartesius

c. Himpunan pasangan berurutan.

Jawab:

c. Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 4), (4, 8),(6, 6)}

2). Domain, Kodomain dan Range

Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan B disebut Kodomain (daerah kawan) dan semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).

Contoh 3

Tuliskan Domain, Kodomain dan Range dari relasi Contoh 2 di atas :

Jawab:

Domain = {2, 4, 6}

Kodomain = {2, 4, 6, 8, 10, 11}

Range = { 2, 4, 6, 8, 10}

Contoh 4

Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di bawah ini:

 

Jawab:

A.    Domain = { 3, 5 }
Kodomain = { 1, 2, 6, 8, 9}
Range = { 1, 2, 8}

B.    Domain = { 3, 5, 7, 8}
Kodomain = { 1, 2, 3, 4, 7, 8}
Range = { {1, 2, 3, 4, 7, 8}

 

3) Definisi fungsi

Fungsi f adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut

disebut daerah hasil ( Range)

Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf lainnya. Maka f(x), yang di baca “ f dari x “ menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Misalkan : f(x) = x2+ 2, maka f(3) = 32+ 2

Contoh 5

Manakah relasi di bawah ini yang merupakan fungsi, jika relasi dari A ke B

Jawab:

Relasi pertama merupakan fungsi, karena setiap anggota domain A berelasi tunggal terhadap anggota kodomain B

Relasi kedua bukan merupakan fungsi, karena ada anggota domain A yang berelasi tidak tunggal terhadap anggota kodomain B

Relasi ketiga bukan merupakan fungsi, karena ada anggota domain A yang tidak berelasi dengan anggota kodomain B

Contoh 6

Mana dari himpunan A, B dan C

berikut ini yang merupakan fungsi ?

A = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7), (5, 8)}

B ={(1, 6), (1, 7), (2, 8), (3, 9), (4, 10)}

C ={(2, 5), (3, 6), (4, 7)}

Jawab:

Yang merupakan pemetaan atau fungsi adalah himpunan A dan C. B bukan fungsi sebab pada himpunan B domain 1 muncul dua kali (berelasi dengan nilai 6 dan 7 pada kodomain)

Sumber:

Klik untuk mengakses minggu-ke-6-relasi-dan-fungsi.pdf

http://dumatika.com/fungsi-komposisi-dan-fungsi-invers/

Read Full Post »